Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qqua... ...extrm{und} \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

erfüllt (in diesem Gebiet).

Überprüfen auf holomorphie:

1. $$z=(u+iv)$$

2. ersetze
   $$u=x \qquad v=y$$

3. einsetzen liefert
   $$z=(x+iy)$$

4. trennen nach $\re\textrm{ und } \im$ (aus 3)
   $$u(x,y)=\re\qquad v=(x,y)=\im$$

5. überprüfe Geltung der Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen :
   $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qqua... ...extrm{und} \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

6. Wenn beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Funktion holomorph!
   

Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion erfüllen die Laplacschen Differntialgleichungen

$$\Delta u(x,y)=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$$

und

$$\Delta v(x,y)=\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0$$