next up previous contents
Nächste Seite: Ableiten mit Cauchy-Riemannschen-Diffgleichungen Aufwärts: Holomorphe Funktionen Vorherige Seite: Holomorphe Funktionen   Inhalt


Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qqua...
...extrm{und} \qquad \frac{\partial
u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $

erfüllt (in diesem Gebiet).

Überprüfen auf holomorphie:

  1. $\displaystyle z=(u+iv)$

  2. ersetze

    $\displaystyle u=x \qquad v=y $

  3. einsetzen liefert

    $\displaystyle z=(x+iy)$

  4. trennen nach $ \re\textrm{ und } \im$ (aus 3)

    $\displaystyle u(x,y)=\re\qquad v=(x,y)=\im$

  5. überprüfe Geltung der Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen :

    $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qqua...
...extrm{und} \qquad \frac{\partial
u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $

  6. Wenn beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Funktion holomorph!

Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion erfüllen die Laplacschen Differntialgleichungen

$\displaystyle \Delta u(x,y)=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$

und

$\displaystyle \Delta v(x,y)=\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0$



Joern Allmers 2003-06-04