Ableiten mit Cauchy-Riemannschen-Diffgleichungen

Wie in Kapitel 4.1.1 wird $z$ durch $x+iy$ ersetzt und nach Real- und Imaginärteil aufgelöst. Man hat dann also:

$$f(z)=\dots= u(x,y)+i v(x,y)$$

Aus den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen folgt:

$$u_{x}=v_{y} \qquad u_{y}=-v_{x}$$

Aus dem Beweis der Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen folgt nun:

$$f'(z)=u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}$$