Möbiustransformation

Eine Möbiustransformation ist eine konforme Abbildung. Sie bildet Geraden auf Geraden und Kreise auf Kreisen ab.

• Allgemeine Form
  $$\omega = f(z)= \frac{az+b}{cz +d}$$

• Jede Möbiustransformation setzt sich zusammen aus
  $$z \mapsto z+a \textrm{ (Verschiebung um a) } \quad , \quad a \in \mathbf{C}$$
  $$z \mapsto a\cdot z \textrm{ (Drehstreckung mit Winkel } \arg a \textrm{ und Faktor } \vert a\vert)$$
  $$z \mapsto \frac{1}{z} \textrm{ (Inversion)}$$

• Wichtig: Inverse einer Möbiustransformation ist eine Möbiustransformation !
• Eine Möbiustransformation heißt normiert, wenn gilt:
  $$ad-bc=1 \textrm{ bzw. e (was nichts mit Euler zu tun hat!)}$$
  Sobald eine Möbiustransformation normiert ist liegen die vier Zahlen $a,b,c,d$ fest, bis auf einen Faktor $\pm 1$.
• Bildung von Inversen:
  $$\omega = f(z)= \frac{az+b}{cz +d} \quad \rightarrow \quad f^{-1}=\frac{dz-b}{-cz+a}$$
  Achtung: Neue Bezeichnungen nach der Invertierung einführen!