Berechnung von Residuen

1. Finde die Polstellen $z_{i}$ (wie oft kommt die NST vor $\rightarrow m$ facher Pol) (wenn nötig mit PBZ, siehe Kapitel 10.1)
2. Die Residuen $a_{-1}$ sind ($z_{i}$ sind die NST):
   $$a_{-1}(z_{i})=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{i}}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left ( (z-z_i)^{m} f(z) \right )$$
   mit $m$: Ordnung des Pols.

Hinweise:

• Wenn die Polstelle in der Form
  $$\frac{\dots}{(z^{2}+1)}$$
  $\rightarrow$ sind die Nullstellen $i,-i$, das kann man auflösen auf
  $$\frac{\dots}{(z-i)(z+i)}$$

• Achtung auf hebbare Definitionslücken, evtl. kann man den Bruch kürzen! Außerdem sind die Residuen einer hebbaren Definitionslücke:
  $$a_{-1}=0$$

• Zur Kontrolle oder aus Zeitmangel:
  Das Residuum einer konjugiert komplexen Zahl ist das konjugiert komplexe Residuum. (Das ist ein total ''komplexer'' Satz, aber anders kann ich es gerade nicht ausdrücken. :-))