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Allgemeines

Die ''p-q'' Formel (das ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen)

$\displaystyle x^{2}+px+q=0 \qquad \rightarrow \qquad x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$
Rechenregeln, die man immer wieder braucht

$\displaystyle \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$
Sinus und Cosinus

$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha =1$

$\displaystyle \cos(-\alpha)=\cos \alpha \qquad \sin(-\alpha)=-\sin \alpha \qquad \tan(-\alpha)=-\tan\alpha$

$\displaystyle \cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \cos \beta$

$\displaystyle \cos(\alpha - \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \cos \beta$

$\displaystyle \sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$\displaystyle \sin(\alpha - \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$\displaystyle \tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta}$

$\displaystyle \tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta}$

Einige Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens (siehe auch die Verläufe in den Bildern 1 und 2)

Abbildung: Verläufe von Sinus und Cosinus
$\begin{figure}\epsfig{file=sincosverlauf.eps, width=\epswidth} \end{figure}$

Abbildung: Verläufe von Tangens und Cotangens
$\begin{figure}\epsfig{file=tancotverlauf.eps, width=\epswidth} \end{figure}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert... ...\pi}{2} &1 & 0 & \textrm{nicht def.} & 0 \\ \hline \end{array}\end{displaymath}$
Trigonometrische Funktionen mit komplexen Werten

$\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x \cos iy + \cos x \sin iy = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$

$\displaystyle \cos(x+iy))\cos x \cos iy - \sin x \sin iy = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y$

$\displaystyle \sin iz=i \sinh z \qquad \sinh iz = i \sin z$

$\displaystyle \cos iz= \cosh z \qquad \cosh iz = \cos z$

$\displaystyle \sin z = \frac{1}{2i}\left (e^{iz}-e^{-iz}\right ) \qquad \cos z = \frac{1}{2}\left ( e^{iz}+ e^{-iz} \right )$

$\displaystyle \sinh z = \frac{1}{2i}\left (e^{z}-e^{-z}\right ) \qquad \cosh z = \frac{1}{2}\left ( e^{z}+ e^{-z} \right )$
Wichtige Integrale und ihre Lösungen

$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx = \ln x \qquad \int_{a}^{b}\frac{1}{x} dx=\ln \frac{b}{a} \qquad \int \sin x dx =-\cos x$

$\displaystyle \int \cos x dx=\sin x \qquad \int \tan x dx = -\ln \vert\cos x\vert$
Differentiationsregeln
- Produktregel
  
  $\displaystyle f(x)=u\cdot v \quad \rightarrow \quad f'(x)=u'\cdot v + u \cdot v'$
- Quotientenregel
  
  $\displaystyle f(x)=\frac{u}{v} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{u' \cdot v-u \cdot v'} {\left (v \right )^{2}}$
- Kettenregel
  
  $\displaystyle f(x)=h\left (g(x)\right ) \quad \rightarrow \quad f'(x)=h'\left (g(x)\right ) \cdot g'(x)$
  Maerksatz: ''innere mal äußere''
  Beispiel:
  
  $\displaystyle (x^{2}+2)^{3}\rightarrow 3 \cdot 2x(x^{2}+2)^{2}$
Beim Integrieren nicht vergessen, wenn keine Grenzen vorhanden sind!
Das Kreuzprodukt ist die Lösung der Determinante

$\displaystyle \vec v^{1} \times \vec v^{2} = \Det\left ( \begin{array}{ccc} \ve... ...{1} & v_{3}^{1} \\ v_{1}^{2} & v_{2}^{2} & v_{3}^{2} \\ \end{array} \right )$
Beispiel:

$\displaystyle \left ( \begin{array}{c} 2\\ 4\\ 3 \end{array} \right ) \time... ...& \vec e_{2} & \vec e_{3} \\ 2 & 4 & 3 \\ 0 & 6 & 5 \\ \end{array} \right )$

$\displaystyle = \vec e_{1} \cdot 4 \cdot 5 +\vec e_{2} \cdot 3 \cdot 0 + \vec e... ...dot 4 \cdot \vec e_{3} - 6\cdot 3 \cdot \vec e_{1} - 5\cdot 2 \cdot \vec e_{2}$

$\displaystyle \stackrel{\textrm{\tiny {Zusammenfassen}}}{=}\left (\begin{array}... ...ray} \right ) = \left (\begin{array}{c} 2\\ -10\\ 12\\ \end{array} \right )$
Vektorprodukt

$\displaystyle <\vec a,\vec b>=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\hdots$
ist wenn $\vec a \bot \vec b = 0$
Bildung von Determinanten

$\displaystyle \det \left ( \begin{array}{cc} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ \end{array} \right ) = a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}$

$\begin{displaymath}\det \left ( \begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2... ... \quad & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\\ a_{3} & b_{3}\\ \end{array}\end{displaymath}$
Eigenwerte (Bronstein S. 278) genügen der Gleichung

$\displaystyle \det (A-\lambda I)$
wobei die der Größe der Matrix entsprechende Einheitsmatrix (alles 0 außer die Hauptdiagonale, dort 1) ist.
Eigenvektoren der Matrix sind Vektoren und die der Gleichung ( $\vec v$ ist der EV):

$\displaystyle (A-\lambda_{i} I)\vec v \stackrel{!}{=}0$
genügen. Zu jedem $\lambda$ muss es einen EV geben, alle EV müssen linear unabhängig sein! Wenn ich nicht genug EV finde, brauche ich Hauptvektoren!
Hauptvektoren
- 1. Stufe:
  
  $\displaystyle (A-\lambda_{\textrm{\tiny {des EV}}}I)\vec v_{H}=\vec v_{\textrm{\tiny {Der EV}}}$
  muß nicht unbedingt der EV des Lambdas sein, wozu ich den EV nicht finde!
- 2. Stufe: im Grunde genauso, nur:
  
  $\displaystyle (A-\lambda_{\textrm{\tiny {des EV}}}I)\vec v_{H_{2}}=\vec v_{\textrm{\tiny {Der HV}}}$
geometrische und algebraische Vielfachheit
- geometrische Vielfachheit
  Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren kann ich aus einem Eigenwert machen?
- algebraische Vielfachheit
  Wie oft tritt ein Eigenwert auf?
Polynomdivision
Die Polynomdivision funktioniert im Grunde wie das schriftliche Dividieren. Um die Nullstellensuche zu vereinfachen, rät man eine Nullstelle und dividiert durch $(x-\textrm{NST})$ .
Matrizen invertieren
Ist praktisch ein Gauß, wo neben der Matrix eine gleichgroße Einheitsmatrix steht. Gauß wird so lange durchgeführt, bis die Ausgangsmatrix zur Einheitsmatrix geworden ist. Ergebnis ist die ehemalige Einheitsmatrix.