Berechnung von Residuen bei wesentlichen Singularitäten

Wenn die Funtion kein Bruch ist, sondern Singularitäten in der Form von

$$f(z)=z e^{\frac{1}{z}}$$

enthalten sind, nennt man diese wesentliche Singularitäten. Die Residuen dazu kann man nicht nach 4.7 berechnen, sondern man muss die Laurent Reihe entwickeln, das Residuum $a_{-1}$ ist der Faktor, der $\frac{1}{z-z_{0}}$ enthält. Zur Berechnung der Laurentreihen greift man auf bestehende Potenzreihen aus dem Bronstein zurück und setzt ein.

Reihenentwicklung für $e^{z}$:

$$e^{z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$$

Für $z$ kann man jetzt auch irgendein $f(z)$ einsetzen.