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Partielle Differntiation

Allgemein:

$\displaystyle \frac{\partial \vec f (x,y,z,\ldots)}{\partial x (y,z,\ldots)}
$

bedeutet $ \vec f$ nach $ x(y,z)$ ableiten, andere Variabeln sind ''Konstanten''!

Beispiel:

$\displaystyle g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} \qquad \rightarrow \qquad \frac {\partial \vec
f}{\partial x}=2x
$

Der Gradient ist der Zeilenvektor der partiellen Ableitungen:

$\displaystyle \grad f(\vec x):=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial
f}{\partial z}\right)
$

Beispiel für $ g(x,y,z)$

$\displaystyle \grad g(x,y,z)=(2x,2y,2z)$

Der Nabla Operator ist der Gradient transponiert:

$\displaystyle \nabla f(\vec x):=\left(\grad f(\vec x)\right)^{T}= \left ( \begi...
...tial f}{\partial y} \\
\frac{\partial f}{\partial z} \\
\end{array} \right )
$

Beispiel für $ g(x,y,z)$:

$\displaystyle \nabla g(x,y,z)=\left ( \begin{array}{c}
2x\\
2y\\
2z\\
\end{array} \right )
$

Höhere Ableitungen gibt es, falls $ f$ stetig genug (!) ist (dabei ist die Reihenfolge egal...) :

$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}}=f_{x_{i}x_{i}}
$

Der Laplace Operator ist die Summe der 2. Ableitungen:

$\displaystyle \Delta:=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}
$

Vektorwertige Funktionen werden zeilenweise abgeleitet (wenn dabei $ m=n$ ist, dann das ein Vektorfeld):

\begin{displaymath}
\vec f(\vec x):= \left(
\begin{array}{c}
f_{1}(x_{1},\ldots...
...
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{i}}\\
\end{array} \right )
\end{displaymath}

Divergenz (Quelle und Senke):

$\displaystyle \divg\vec f = \nabla \cdot \vec f := \frac{\partial f_{x}}{\partial x}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y}+
\frac{\partial f_{z}}{\partial z}
$

$\displaystyle \textrm{Beispiel: } \vec f(x,y,z)=(x-a,y,z) \qquad \rightarrow \qquad \divg\vec f=1+1+1=3
$

Die Rotation:

$\displaystyle \rot\vec f:= \left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\p...
...c{\partial f_{2}}{\partial
x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right)
$

$\displaystyle \textrm{Beispiel: } \vec f(x,y,z)=(a,x,b) \qquad \rightarrow \qquad \rot\vec f =(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)
$

Die Jacobi-Matrix:

\begin{displaymath}
\J\vec f=\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\p...
...\grad f_{1}\\
\vdots \\
\grad f_{m} \\
\end{array} \right )
\end{displaymath}

Die Hesse Matrix:

$\displaystyle \Hess f(\vec x)= \left (\begin{array}{ccc}
f_{x_{1}x_{1}} & \ldot...
... & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}} & \ldots & f_{x_{n}x_{n}} \\
\end{array}\right )
$

also im $ \mathbf{R}^{3}$:

$\displaystyle \Hess f(\vec x)= \left ( \begin{array}{ccc}
f_{xx} & f_{xy} & f_{...
...
f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \\
\end{array}\right )
$


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Joern Allmers 2003-06-04