Partielle Differntiation

Allgemein:

$$\frac{\partial \vec f (x,y,z,\ldots)}{\partial x (y,z,\ldots)}$$

bedeutet $\vec f$ nach $x(y,z)$ ableiten, andere Variabeln sind ''Konstanten''!

Beispiel:

$$g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} \qquad \rightarrow \qquad \frac {\partial \vec f}{\partial x}=2x$$

Der Gradient ist der Zeilenvektor der partiellen Ableitungen:

$$\grad f(\vec x):=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

Beispiel für $g(x,y,z)$

$$\grad g(x,y,z)=(2x,2y,2z)$$

Der Nabla Operator ist der Gradient transponiert:

$$\nabla f(\vec x):=\left(\grad f(\vec x)\right)^{T}= \left ( \begi... ...tial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \\ \end{array} \right )$$

Beispiel für $g(x,y,z)$:

$$\nabla g(x,y,z)=\left ( \begin{array}{c} 2x\\ 2y\\ 2z\\ \end{array} \right )$$

Höhere Ableitungen gibt es, falls $f$ stetig genug (!) ist (dabei ist die Reihenfolge egal...) :

$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}}=f_{x_{i}x_{i}}$$

Der Laplace Operator ist die Summe der 2. Ableitungen:

$$\Delta:=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}$$

Vektorwertige Funktionen werden zeilenweise abgeleitet (wenn dabei $m=n$ ist, dann das ein Vektorfeld):

$$\vec f(\vec x):= \left( \begin{array}{c} f_{1}(x_{1},\ldots... ... \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{i}}\\ \end{array} \right )$$

Divergenz (Quelle und Senke):

$$\divg\vec f = \nabla \cdot \vec f := \frac{\partial f_{x}}{\partial x}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y}+ \frac{\partial f_{z}}{\partial z}$$

$$\textrm{Beispiel: } \vec f(x,y,z)=(x-a,y,z) \qquad \rightarrow \qquad \divg\vec f=1+1+1=3$$

Die Rotation:

$$\rot\vec f:= \left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\p... ...c{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right)$$

$$\textrm{Beispiel: } \vec f(x,y,z)=(a,x,b) \qquad \rightarrow \qquad \rot\vec f =(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$$

Die Jacobi-Matrix:

$$\J\vec f=\left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\p... ...\grad f_{1}\\ \vdots \\ \grad f_{m} \\ \end{array} \right )$$

Die Hesse Matrix:

$$\Hess f(\vec x)= \left (\begin{array}{ccc} f_{x_{1}x_{1}} & \ldot... ... & \vdots \\ f_{x_{n}x_{1}} & \ldots & f_{x_{n}x_{n}} \\ \end{array}\right )$$

also im $\mathbf{R}^{3}$:

$$\Hess f(\vec x)= \left ( \begin{array}{ccc} f_{xx} & f_{xy} & f_{... ... f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \\ \end{array}\right )$$