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Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$\displaystyle y'=\underbrace{
\left( \begin{array}{c}
\ldots \\
\ldots \\
\ldots \\
\end{array} \right )
}_{A} \cdot y
$

Achtung: Wenn Inhomogenität vorhanden, siehe Kapitel 6.4!

  1. A definieren
  2. Eigenwerte $ \lambda_{i}$ zu A bestimmen
  3. Eigenvektoren (und eventuell Hauptvektoren) $ (\vec v^{i})$ bestimmen
  4. aus den Eigenvektoren und Eigenwerten:

    $\displaystyle \vec y_{n}=e^{\lambda_{n}t}\vec v^{n} $

  5. aus den Hauptvektoren:

    $\displaystyle y_{n}=\left ( t\cdot \underbrace{\vec v^{n}}_{\textrm{\tiny {Eige...
...ce{\vec
v^{Hn}}_{\textrm{\tiny {Hauptvektor}}}\right ) \cdot e^{\lambda_{Hn}t}
$

  6. Lösung der DGL ist das Fundamentalsystem:

    $\displaystyle y_{h}=\sum_{n=1}^{n} C_{n} \cdot y_{n} $

(Siehe auch AO2 S.178ff)

Achtung: Wenn komplexe Vektoren usw.:

$\displaystyle e^{it}=\cos t + i\sin t \qquad e^{-it}=\cos t - i\sin t$

$\displaystyle ie^{it}=i \cos t - \sin t$

Die komplexen Ausdrücke werden ''weggeworfen'', die komplexe NST ist der Realteil, die konjugiert komplexe NST ist der Imaginärteil (ohne i)!



Joern Allmers 2003-06-04