Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$$y'=\underbrace{ \left( \begin{array}{c} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \end{array} \right ) }_{A} \cdot y$$

Achtung: Wenn Inhomogenität vorhanden, siehe Kapitel 6.4!

1. A definieren
2. Eigenwerte $\lambda_{i}$ zu A bestimmen
3. Eigenvektoren (und eventuell Hauptvektoren) $(\vec v^{i})$ bestimmen
4. aus den Eigenvektoren und Eigenwerten:
   $$\vec y_{n}=e^{\lambda_{n}t}\vec v^{n}$$

5. aus den Hauptvektoren:
   $$y_{n}=\left ( t\cdot \underbrace{\vec v^{n}}_{\textrm{\tiny {Eige... ...ce{\vec v^{Hn}}_{\textrm{\tiny {Hauptvektor}}}\right ) \cdot e^{\lambda_{Hn}t}$$

6. Lösung der DGL ist das Fundamentalsystem:
   $$y_{h}=\sum_{n=1}^{n} C_{n} \cdot y_{n}$$

(Siehe auch AO2 S.178ff)

Achtung: Wenn komplexe Vektoren usw.:

$$e^{it}=\cos t + i\sin t \qquad e^{-it}=\cos t - i\sin t$$

$$ie^{it}=i \cos t - \sin t$$

Die komplexen Ausdrücke werden ''weggeworfen'', die komplexe NST ist der Realteil, die konjugiert komplexe NST ist der Imaginärteil (ohne i)!