Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten

Achtung: Es gibt ein anderes Verfahren für $\not= 0$, siehe Kapitel 6.5.1!

$$y'''-ay''+by'=0$$

$$\textrm{Substituieren: } y'=\lambda \qquad y''=\lambda^{2} \qquad \textrm{usw. Achtung: }y=\lambda^{0}=1$$

Von diesem System die Nullstellen bestimmen ( $\lambda_{k}$)

$$\rightarrow \qquad y_{k}(t)=e^{\lambda_{k}t} \qquad \rightarrow \qquad y(t)=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+\ldots+c_{k}y_{k}$$

Wenn mehrfache Nullstelle vorhanden sind:

• 1. NST: normal
• 2 fache: $te^{\lambda_{k}t}$
• 3 fache: $t^{2}e^{\lambda_{k}r}$
• usw.

Achtung:

Wenn Nulstelle komplex $(a+ib)$, komplexe Darstellung:

$$e^{at}\left(C_{1}\cos bt + C_{2} i \sin bt \right )$$

Die realwertige Darstellung:

$$e^{at}\left (C_{1}\cos bt + C_{2} \sin bt \right )$$