Exakte DGLs

$$p(x,y)+q(x,y)y'=0 \qquad p(x,y)dx+q(x,y)dy=0$$

Intergrabilitätsbedingung:

$$\frac{\partial p}{\partial y}\stackrel{!}{=}\frac{\partial q}{\partial x} \textrm{, sonst Int. Faktor}$$

$$\grad F=(F_{x},F_{y}) \qquad F_{x}=p(x,y)$$

$$\int P(x,y)dx=\hdots +c(y)=:A+c(y)$$

$$\frac{d(A+c(y))}{dy}=\frac{dA}{dy}+c'(y)\stackrel{!}{=}q(x,y)$$

$$\rightarrow c'(y):=B \qquad \rightarrow \qquad c(y)=\int Bdy$$

$$F(x,y)=A+\underbrace{\int Bdy}_{:=c(y)}=c$$

nach $y=\hdots$ auflösen (AO2 S.153)

$$y=\hdots \textrm{ L\uml {o}sung}$$