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Bernulli'sche DGL

$\displaystyle y+p(x)\cdot y=r(x)\cdot y^{n}$

Substituieren:

$\displaystyle z(x)=y^{(1-n)}=\frac{1}{y^{b-1}}$

führt auf Lineare DGL 1. Ordnung (siehe Kapitel (6.7)

$\displaystyle \frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z=r(x) \textrm{ bzw. } z'+(1-n)\cdot p(x)\cdot z=(1-n)\cdot r(x)$

Allgemeine Lösung:

$\displaystyle z(x)=e^{-\int (1-n) p(x)dx}\left [C+\int \left ((1-n)\cdot r(x)\cdot e^{\int (1-n)p(x) dx}\right )dx
\right ] $

Rücksubstitution:

$\displaystyle z(x)=\frac{1}{y^{(n-1)}} \quad \rightarrow \quad y^{(n-1)}=\frac{1}{z(x)} \quad \rightarrow \quad
y=\sqrt[n-1]{\frac{1}{z(x)}}$

Achtung:

$\displaystyle n=2 \quad \rightarrow \quad y=\frac{1}{z(x)} \qquad n=5 \quad \rightarrow \quad
y=\sqrt[4]{\frac{1}{z(x)}}$



Joern Allmers 2003-06-04