Bernulli'sche DGL

$$y+p(x)\cdot y=r(x)\cdot y^{n}$$

Substituieren:

$$z(x)=y^{(1-n)}=\frac{1}{y^{b-1}}$$

führt auf Lineare DGL 1. Ordnung (siehe Kapitel (6.7)

$$\frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z=r(x) \textrm{ bzw. } z'+(1-n)\cdot p(x)\cdot z=(1-n)\cdot r(x)$$

Allgemeine Lösung:

$$z(x)=e^{-\int (1-n) p(x)dx}\left [C+\int \left ((1-n)\cdot r(x)\cdot e^{\int (1-n)p(x) dx}\right )dx \right ]$$

Rücksubstitution:

$$z(x)=\frac{1}{y^{(n-1)}} \quad \rightarrow \quad y^{(n-1)}=\frac{1}{z(x)} \quad \rightarrow \quad y=\sqrt[n-1]{\frac{1}{z(x)}}$$

Achtung:

$$n=2 \quad \rightarrow \quad y=\frac{1}{z(x)} \qquad n=5 \quad \rightarrow \quad y=\sqrt[4]{\frac{1}{z(x)}}$$