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Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung

(AO2, S. 219) Gegeben ist eine DGL in der Form:

$\displaystyle y''(t)+y'(t)\hdots =h(t) $

und Randwerte:

$\displaystyle y(0)=0 \qquad y'(0)-y'(1)=0$

  1. Fundamentalsystem bestimmen $ (=0)$, daraus kommt dann etwas wie

    $\displaystyle y_{1}=\hdots \qquad y_{2}=\hdots$

  2. Ansatz für die Green'sche Funktion:

    $\displaystyle G(t,\tau)=\left \{\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{2} \left (a_{i}(\t...
...u)-b_{i}(\tau)\right )y_{i}(t) \quad :\quad \tau\geq t\\
\end{array} \right .
$

  3. $ a_{i},b_{i}$ bestimmen:

    $\displaystyle \sum_{i=1}^{2}b_{i}(t)y_{i}(t)=0$

    und

    $\displaystyle \sum_{i=1}^{2}b_{i}(t)y'_{i}(t)=\frac{1}{2}$

    jetzt die Randbedingungen in $ G(t,\tau)$ einsetzten und die $ a_{i}$ bestimmen.

    Damit hat man eine bestimmte Green'sche Funktion und die Lösung der RWA ist:

  4. $\displaystyle y(t)=\int_{a}^{b} G(t,\tau) h(\tau) d\tau$

    Die Grenzen sind die Ränder der Sprungbedingung (das mit $ y'(
\hdots)-y'(\hdots)=0$ hier also 0 und 1').

    Achtung, dadurch dass die Green'sche Funktion zwei geteilt ist, muss ich über beide Bereiche Integrieren, also die beiden Teilfunktionen integrieren und addieren, die Grenzen sind dann (a,t) und (t,b)!



Joern Allmers 2003-06-04