Implizite Differentiation

Es ist etwas gegeben in der Form:

$$f(x,y)=\hdots =0$$

außerdem ist ein Punkt $P_{1}=(x,y)$ gegeben.

• $P_{1}$ in $f(x,y)$ einsetzen, muss 0 ergeben
• $\grad f(x,y)$ (bzw. $\J f(x)$ wenn in $\mathbf{R}^{3}$) bestimmen, Punkt $P_{1}$ einsetzen, Ergebnis muss $\not= \vec 0$ sein, dann darf ich nach $x/y$ auflösen. Wenn einer davon $=0$, dann nur nach der anderen auflösbar.

• $$x=h(y) \textrm{ lokale Aufl\uml {o}sbarkeit nach x}$$
  $$y=h(x) \textrm{ lokale Aufl\uml {o}sbarkeit nach y}$$

• jeweils einsetzen (und zwar auf ''beiden Seiten der Gleichung'')
  $$f(x,h(x))=\hdots \quad \textrm{oder} \quad f(h(y),y)=\hdots$$

• Die Ableitungen des neuen $f(x,h(x) \textrm{ oder } f(h(y),y)$ bilden, somit erhält man einen impliziten Ausdruck für $h'(x/y)$.

  Hilfe dazu:

  $$h^{2}(x)=2h(x)h'(x) \qquad \rightarrow \qquad h(x) \rightarrow h'(x) \frac{d}{dx}$$

• Da der Punkt $p_{1}$ gegeben ist, weiß ich:
  $$P_{1}=(a,b) \quad \rightarrow \quad h(a)\stackrel{!}{=}b$$

• Nach $h'(x/y)=\hdots$ auflösen!

  (Wenn Auflösbarkeit gegeben ist, kann man auch explizit auflösen!)

Achtung: Wenn kein Punkt gegeben ist, die Gleichung allgemein auf lokale Auflösbarkeit kontrollieren. Danach einsetzten, was verlangt ist, allgemein nach der gesuchten Ableitung auflösen und ableiten.