Grundlegende Rechenregeln und Definitionen

($z=x+iy$ sei jeweils eine komplexe Zahl)

Abbildung: Die Gaußsche Zahlenebene

• Gleichheit
  $$z_{1}=z_{2} \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1}+iy_{1} = x_{2}+... ...trightarrow \quad \re z_{1}=\re z_{2} \quad \wedge \quad \im z_{1} = \im z_{2}$$

• Addition
  $$z_{1}+z_{2}= (x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})$$

• Subtraktion
  $$z_{1}-z_{2}= (x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})$$

• Multiplikation
  $$z_{1}\cdot z_{2} = (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$$

• Division
  $$\frac{1}{z}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$$

• konjugiert komplexe Zahl
  $$\overline{z}:=x-iy$$
  ist die zu $z=x+iy$ konjugiert komplexe Zahl (Siehe Bild 4)

  Abbildung 4: Konjugiert komplexe Zahl

  

• Norm (Betrag, Länge, Modul (siehe auch Bild 4))
  $$\vert z\vert:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

• Eigenschaften
  $$\overline{\overline{z}}=z$$
  $$\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_2},\qquad \overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_2}$$
  $$\re z=\frac{1}{2} (z+\overline{z}), \qquad \im z=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$$
  $$z \in \mathbf{R} \Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
  $$\vert z\vert=\sqrt{z\cdot \overline{z}} \quad , \textrm{ d.h. } z\cdot \overline{z} = x^{2}+y^{2}$$
  $$\vert z\vert\geq 0 \quad, \quad \vert z\vert=0 \quad \Longleftrightarrow \quad z=0$$
  $$\vert z_{1}\cdot z_{2}\vert=\vert z_{1}\vert\cdot\vert z_{2}\vert$$
  $$\vert z_{1}+z_{2}\vert\leq \vert z_{1}\vert+\vert z_{2}\vert \quad \textrm{(Dreiecksungleichung)}$$

• Rechenregeln
  $$(1-i)\cdot (1+i)=1+i-i+1=2$$
  $$(-1-i)\cdot (-1+i)=+1+i-i+1=2$$
  $$\frac{1}{-ai}=ai$$