Extremwerte mit Nebenbedingungen

Es sind zum Beispiel die Extremwerte einer Funktion $f$ innerhalb eines Kreises oder soetwas gefragt, dann gibt es eine Nebenbedingung in der Form $x+y\leq n$ für das Innere dieser Figur ($<n$ siehe oben, ganz normal die Extrema ausrechnen und dann überprüfen, ob sie in der Nebenbedingung liegen). (Liegen die Punkte in dem Kreis?)

Für den Rand muss man zuerst eine Funktion der Nebenbedingungen aufstellen:

$$g(\vec x)=\left ( \begin{array}{c} \textrm{NB} \\ \textrm{NB} \\ \textrm{usw.} \\ \end{array} \right )$$

Jetzt wird für $g(\vec x)$ die Regularitätsbedingung überprüft:

$$\Rang\J(g(\vec x))=m \textrm{ mit } m= \textrm{Anzahl der Nebenbedingungen}$$

Jetzt wird mit der Lagrangemultiplikatorenregel eine neue Funktion $F$ erstellt:

$$\underbrace{F}_{\textrm{neue Funktion}}=\underbrace{f}_{\textrm{geg. Funktion}}+ \sum_{i=1}^{\overbrace{m}^{ \textrm{Anzahl NB}}}\lambda_{i}g_{i}$$

Jetzt wie gehabt die Notwendige Bedingung der Form:

$$\grad F(x,y,z,\lambda_{1} \ldots)\stackrel{!}{=}0$$

Dabei kann es sehr sinvoll sein, die Werte der $\lambda_{i}$ zu raten. Das Gleichungssystem ist sonst schwer zu lösen. Die Klassifizierung erfolgt entweder über die Werte der Punkte in $f(\vec x)$, oder über ein System (Stichwort: aufsteigend oder absteigend) aus AO2.