Fourier Reihe

(unbedingt wegen gerader / ungerader usw. Fortsetzung: AO1 Kapitel 16!)

1. Zeichnung
2. $T$ bestimmen (Periode) $\rightarrow \omega=\frac{2\pi}{T}$
3. Ist die Funktion gerade oder ungerade?
   • gerade: $f(x)=-f(x) \rightarrow b_{k}=0$
   • ungerade: $f(x)=-f(-x) \rightarrow a_{k}=0$
   • keins von beidem: alles berechnen
4. $a_{0}$ bestimmen:
   $$a_{0}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} y(x) \underbrace{\cos (0 \omega x )}_{=1} dx=\int_{0}^{T} y(x) dx$$

5. $a_{k} \textrm{ und } b_{k}$ bestimmen:
   $$a_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} y(x) \cos (k \omega x ) dx$$
   und
   $$b_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} y(x) \sin (k \omega x ) dx$$
   Achtung: Es kann sein, dass $a_{k}$ oder $b_{k}$ Null sind (s.o.). Anstelle $0 \textrm{ und } T$ können auch die Grenzen, in denen ich fortsetze, benutzt werden.
6. Zusammensetzen:
   $$F_{y}=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos (k\omega x) + b_{k} \sin (k\omega x)$$