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Partialbruchzerlegung

  1. Gegeben:

    $\displaystyle \frac{p}{q} \quad \textrm{ Potenz von }p<q$

  2. Wenn Potenz $ p\geq q$ dann Polynomdivision (siehe Kapitel 2)
  3. Von $ q$ die Nullstellen (Annahme der Nullstellen für das Beispiel!) suchen ( $ q\stackrel{!}{=}0$), dann:

    $\displaystyle \frac{p}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+3)}$ (1)

    oder es kann so etwas passieren:

    $\displaystyle \frac{p}{(x-1)x^{3}}= \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x^{2}}+\frac{D}{x^{3}} $

    $\displaystyle \frac{p}{x^{2}+1}=\frac{Ax+B} {x^{2}+1}$

    oder:

    $\displaystyle \frac{p}{x^{2}+1}=\frac{A}{x+i}+\frac{B}{x-i}$

    (Wenn Potenzen im Nenner, treten diese auch in der Anzahl der Potenz auf!)
  4. Ganze Gleichung mit dem Nenner der linken Seite!!! multiplizieren wir verwenden (1):

    $\displaystyle p=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)$

    Jetzt wählt man Werte für $ x$ (auch i als Zahl einsetzten, wenn benötigt) und setzt diese ein (auch in $ p$), so dass nur eine Unbekannte ($ A,B,C$) vorhanden ist. So findet man Lösungen für $ A,B,C$. Wenn man nicht mehr weiterkommt, kann man das gesamte System einmal ableiten, das so gewonnen Ergebnis muss man wieder in die unabgeleitete Gleichung einsetzten. Diese setzt man nun wieder in das ursprüngliche Gleichungssystem (1) ein.

  5. Gewonnene Ergebnisse in (1) einsetzen und auf beiden Seiten integriegen:

    $\displaystyle \int \frac{p}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\int \frac{A}{(x+1)}+\int \frac{B}{(x+2)}+\int \frac{C}{(x+3)}$

    Wenn ohne Grenzen Integriert wird, Konstante $ C$ nicht vergessen!
Merke für Markus:

$\displaystyle x-\textrm{ Nullstelle }$

Achtung: Komplexe Nullstellen treten immer mit ihrer ''kleinen Schwester'' (konjugiert komplexer NST) auf! Diese werden aber als eine NST aufgefasst!

Achtung: $ C$ nicht vergessen!!


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Joern Allmers 2003-06-04