Berechnung von Flächen (Parametrisierung)

Gegeben ist irgend etwas in der Form:

$$E= \left \{ \left ( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \... ...f{R}^{3} \quad \vert \quad x^{2}+y^{2}<1 \wedge Z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \right \}$$

1. Vorstellen, was es ist (zeichnen, es kann hilfreich sein, $x,y \textrm{ oder } z$ ''festzuhalten'' und einen Schnitt zu zeichnen).
2. Anhand dieser Vorstellung eine intelligente(!) Parameterisierung finden, hier:
   • kartesisch
     $$P_{1}:K_{1}\to \mathbf{R}^{3} \qquad P_{1}(x,y)=\left ( \begin{array}{c} x\\ y\\ \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array} \right )$$
     $$K_{1}:\left \{ (x,y)^{T} \in \mathbf{R}^{2} \quad \vert \quad -1 \leq x \leq 1 \wedge -\sqrt{1-x^{2}} \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}} \right \}$$

   • polar
     $$P_{2}(r,\varphi)=\left ( \begin{array}{c} r \cos \varphi \\ r \s... ...r\\ \end{array} \right ) \textrm{ (entsteht aus der kartesischen eingesetzt) }$$
     $$[0\leq r \leq 1],[0\leq \varphi \leq 2\pi]$$

3. Fläche ist:
   $$\int_{E} d\vec o =\int_{K} \left \Vert \frac{\partial P_{1}}{\par... ...{1}}{\partial y(\varphi)} \right \Vert _{2} dx dy \textrm{ bzw. } dr d\varphi$$
   Es gilt:
   $$\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} dx dy = \int_{c}^{d}\int_{a}^{b} dy dx$$