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Nicht komplexer linearer Ausgleich

Man bekommt eine Reihe von Daten und soll dazu eine Ausgleichsfunktion finden. Das Ganze könnte in etwa so aussehen:

$ t_{i}$ -2 -1 0 1 2
$ y_{i}$ 2 3 3 4 3

bzw. um es allgemein zu halten:

$ t_{i}$ a b c d e
$ y_{i}$ f g h i j

Dazu soll man dann eine Ausgleichsgrade, Parabel oder so etwas herstellen, die die Form:

$\displaystyle g(t)=a_{1}+a_{2}t \qquad \textrm{ oder } \qquad p(t)=b_{1}+b_{2}t^{2} $

hat. Dazu muß man das dazugehörige Gleichungsystem $ A\vec x =\vec b$ lösen, dazu stellt man auf:

$\displaystyle A= \left ( \begin{array}{cc }
1 &-2\\
1 &-1\\
1 & 0\\
1 & 1 ...
...
1 &d\\
\underbrace{1}_{x^{0}, \textrm{ immer }1} &e\\
\end{array} \right )
$

für die Ausgleichsgerade

und für die Ausgleichsparabel:

$\displaystyle A= \left ( \begin{array}{cc }
1 &4\\
1 &1\\
1 & 0\\
1 & 1\\
1...
...trm{\tiny {dazwischen k\uml {a}me noch} } x^{1}& e^{2}\\
\end{array} \right )
$

$ A$ hat als Spalten die $ t_{i}$ hoch 0(=1), hoch 1, hoch 2 usw., die in der gesuchten Funktion nicht vorhandenen Potenzen auch in $ A$ weglassen.

Für beide noch:

$\displaystyle \vec x = \left ( \begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\end{array}...
... }
\vec x = \left ( \begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\end{array} \right )
$

sowie:

$\displaystyle \vec b=\left (\begin{array}{c}
2\\
3\\
3\\
4\\
3\\
\end{arra...
...} \vec b=\left (\begin{array}{c}
f\\
g\\
h\\
i\\
j\\
\end{array} \right ) $

dann gibt es die Normalengleichung:

$\displaystyle A^{T}A\vec x=A^{T}\vec b$

woraus man ein Gleichungsystem für $ \vec x$ erhält, so dass man die Unbekannten der Ausgleichsfunktion berechnen kann.

Ein Merkmal für die Güte der Annäherung der Ausgleichsfunktion ist das Residuum. Es wird wie folgt berechnet:

$\displaystyle \vec r=A\vec x-\vec b$

Die Güte des Residuums ist definiert durch:

$\displaystyle \left \Vert \vec r \right \Vert_{2}=\left \Vert A\vec x - \vec b \right \Vert _{2} $


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Joern Allmers 2003-06-04