Nicht komplexer linearer Ausgleich

Man bekommt eine Reihe von Daten und soll dazu eine Ausgleichsfunktion finden. Das Ganze könnte in etwa so aussehen:

$t_{i}$	-2	-1	0	1	2
$y_{i}$	2	3	3	4	3

bzw. um es allgemein zu halten:

$t_{i}$	a	b	c	d	e
$y_{i}$	f	g	h	i	j

Dazu soll man dann eine Ausgleichsgrade, Parabel oder so etwas herstellen, die die Form:

$$g(t)=a_{1}+a_{2}t \qquad \textrm{ oder } \qquad p(t)=b_{1}+b_{2}t^{2}$$

hat. Dazu muß man das dazugehörige Gleichungsystem $A\vec x =\vec b$ lösen, dazu stellt man auf:

$$A= \left ( \begin{array}{cc } 1 &-2\\ 1 &-1\\ 1 & 0\\ 1 & 1 ... ... 1 &d\\ \underbrace{1}_{x^{0}, \textrm{ immer }1} &e\\ \end{array} \right )$$

für die Ausgleichsgerade

und für die Ausgleichsparabel:

$$A= \left ( \begin{array}{cc } 1 &4\\ 1 &1\\ 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1... ...trm{\tiny {dazwischen k\uml {a}me noch} } x^{1}& e^{2}\\ \end{array} \right )$$

$A$ hat als Spalten die $t_{i}$ hoch 0(=1), hoch 1, hoch 2 usw., die in der gesuchten Funktion nicht vorhandenen Potenzen auch in $A$ weglassen.

Für beide noch:

$$\vec x = \left ( \begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \end{array}... ... } \vec x = \left ( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \end{array} \right )$$

sowie:

$$\vec b=\left (\begin{array}{c} 2\\ 3\\ 3\\ 4\\ 3\\ \end{arra... ...} \vec b=\left (\begin{array}{c} f\\ g\\ h\\ i\\ j\\ \end{array} \right )$$

dann gibt es die Normalengleichung:

$$A^{T}A\vec x=A^{T}\vec b$$

woraus man ein Gleichungsystem für $\vec x$ erhält, so dass man die Unbekannten der Ausgleichsfunktion berechnen kann.

Ein Merkmal für die Güte der Annäherung der Ausgleichsfunktion ist das Residuum. Es wird wie folgt berechnet:

$$\vec r=A\vec x-\vec b$$

Die Güte des Residuums ist definiert durch:

$$\left \Vert \vec r \right \Vert_{2}=\left \Vert A\vec x - \vec b \right \Vert _{2}$$