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Hauptachsentransformation (Quadriken)

Es ist irged etwas gegeben in der Form:

$\displaystyle ax_{1}^{2} + b x_{2}^{2}+cx_{3}^{2}+dx_{1}x_{3}+ex_{1}x_{2}+fx_{1}+gx_{2}+hx_{3}+ j=0$

Daraus bildet man die Matrix $ A$, den Vektor $ \vec b$ und die Konstante $ c$: Die Quadrik sei dargestellt durch:

$\displaystyle \vec x^{T}A\vec x +\vec b^{T}\vec x +c =0$

Es wird auf Normalenform transformiert mit:

$\displaystyle \vec x=S\vec y = S(z-p)$

Damit hat die Quadrik nun die Form:

$\displaystyle \vec y^{T}S^{T}AS\vec y + \underbrace{\vec b^{T}S\vec y}_{S^{T}\vec b =: \stackrel{\sim}{\vec b}}+c=0 $

Achtung: Durch das Vertauschen der Spalten von $ s$ haben sich unter Umständen auch die $ \lambda$ getauscht, unbedingt aktuelle Reihenfolge verwenden!

$\displaystyle \lambda_{1}x_{1}^{2}+\lambda_{2}x_{2}^{2}+\lambda_{3}x_{3}^{2}+\s...
...{\sim}{b_{1}}x_{1}+\stackrel{\sim}
{b_{2}}x_{2}+\stackrel{\sim}{b_{3}}x_{3}+c=0$

$\displaystyle z_{1}=x_{1}+\frac{\stackrel{\sim}{b_{1}}}{2\lambda_{1}} \qquad
z...
...}}{2\lambda_{2}} \qquad
z_{3}=x_{3}+\frac{\stackrel{\sim}{b_{3}}}{2\lambda_{3}}$

nach x umformen:

$\displaystyle x_{1}=z_{1}+\frac{\stackrel{\sim}{b_{1}}}{2\lambda_{1}}$


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Joern Allmers 2003-06-04