Hauptachsentransformation (Quadriken)

Es ist irged etwas gegeben in der Form:

$$ax_{1}^{2} + b x_{2}^{2}+cx_{3}^{2}+dx_{1}x_{3}+ex_{1}x_{2}+fx_{1}+gx_{2}+hx_{3}+ j=0$$

Daraus bildet man die Matrix $A$, den Vektor $\vec b$ und die Konstante $c$:

• Die Matrix $A$ hat auf der Hauptdiagonalen die quadratischen Faktoren und ansonsten ein ''Schiffeversenkenmuster'', wobei Terme, in denen zwei Variablen vorkommen getrennt werden.
  (Hauptdiagonale: die Faktoren der Quadratischen Terme, sonst die Hälfte der Faktoren der Terme wo beide vorkommen.)
  $$A=\left (\begin{array}{cccc} \searrow x_{i}^{2} &\mathbf{x_{1}} &... ...} & & & \\ \mathbf{x_{3}} & & \frac{x_{3}x_{2}}{2} & \\ \end{array} \right )$$

• Der Vektor $\vec b$ enthält die einfachen Terme, in etwa so:
  $$\vec b=\left ( \begin{array}{c} f\\ g\\ h\\ \end{array} \right )$$

• $c$ ist die Konstante ohne Variable:
  $$c=j$$

• Wenn man einen Faktor aus jeder Zeile der Matrix ausklammert muß er davor in der 3 (bei 3x3) Potenz stehen.
• Bilde die Eigenwerte von $A$ ( $\det (A-\lambda I) \stackrel{!}{=}0$
• Wenn ich einen Wert aus der Matrix ausklammere wird dieser vor die Determinante geschrieben und muss als Faktor vor den $\lambda$ stehen!
• Bilde die Eigenvektoren zu den $\lambda_{i} (\vec v_{i})$
• Normiere die Eigenvektoren $\vec s_{i}=\frac {\vec v_{i}}{\Vert\vec v_{i}\Vert _{2}}$
• Bilde die Matrix $S$, die spaltenweise aus den normierten Eigenvektoren besteht.
• $S$ muss eine Drehmatix sein ($\det S =1$)
• Sonst Spalten tauschen!

Die Quadrik sei dargestellt durch:

$$\vec x^{T}A\vec x +\vec b^{T}\vec x +c =0$$

Es wird auf Normalenform transformiert mit:

$$\vec x=S\vec y = S(z-p)$$

Damit hat die Quadrik nun die Form:

$$\vec y^{T}S^{T}AS\vec y + \underbrace{\vec b^{T}S\vec y}_{S^{T}\vec b =: \stackrel{\sim}{\vec b}}+c=0$$

Achtung: Durch das Vertauschen der Spalten von $s$ haben sich unter Umständen auch die $\lambda$ getauscht, unbedingt aktuelle Reihenfolge verwenden!

$$\lambda_{1}x_{1}^{2}+\lambda_{2}x_{2}^{2}+\lambda_{3}x_{3}^{2}+\s... ...{\sim}{b_{1}}x_{1}+\stackrel{\sim} {b_{2}}x_{2}+\stackrel{\sim}{b_{3}}x_{3}+c=0$$

$$z_{1}=x_{1}+\frac{\stackrel{\sim}{b_{1}}}{2\lambda_{1}} \qquad z... ...}}{2\lambda_{2}} \qquad z_{3}=x_{3}+\frac{\stackrel{\sim}{b_{3}}}{2\lambda_{3}}$$

nach x umformen:

$$x_{1}=z_{1}+\frac{\stackrel{\sim}{b_{1}}}{2\lambda_{1}}$$