Kurvendiskusion

Ziel: Feststellen des qualitativen und quantitativen Verlaufs des Graphen einer Funktion.

1. Definitionsbereich $\mathbf{D}$, der maximale. Insbesondere muß man auf sg. isolierte Singularitäten (einzelne Punkte ohne $\mathbf{D}$) zu achten und ob diese stetig ergänzbar sind. Bei einem Bruch nur Nenner Null setzten. Darstellung:
   $$\mathbf{D}=\mathbf{R} \setminus \{\hdots\}$$

2. Symmetrie:
   $$f(x)=-f(x) \qquad f(x) \textrm{ symmetrisch zur y-Achse, gerade Funktion}$$
   $$f(x)=-f(-x) \qquad f(x) \textrm{ symmetrisch zum Ursprung, ungerade Funktion}$$

3. Pole hat $f(x)$ die Form $f(x)=\frac{g(x)}{(x-x_{0})^{k}} \textrm{ mit } g(x)$ stetig an $x_{0}, g(x)\not= 0$ so besitzt $f(x)$ in $x_{0}$
   • einen Pol mit Vorzeichenwechsel für $k$ ungerade
   • einen Pol ohne Vorzeichenwechsel für $k$ gerade
   Pole sind stellen wo der Graph der Funktion gegeb $\pm \infty$ geht, z.B. Stellen ohne $\mathbf{D}$

4. Verhalten der Funktion im $\infty$, Asymptoten
   • bestimme die Grenzwerte
     $$\lim_{x \to +\infty} f(x)\quad , \quad \lim_{x \to -\infty} f(x)$$

   • Asymptoten: eine Grade $y=\alpha x+\beta$ heißt Asymptote von $f(x)$ für $x \to \pm \infty$ fallst der
     $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)-\alpha x -\beta =0$$
     ist. Dann lassen sich die Koeffizienten $\alpha \textrm{ und } \beta$ gemäß
     $$\alpha=\lim_{x \to \pm \infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right) \qquad \beta=\lim_{x \to \pm \infty}\left (f(x)-\alpha x\right )$$
     bestimmen.
5. Nullstellen
   $$f(x)\stackrel{!}{=}0$$

6. Funktion ableiten (bis zur 3. Ableitung)
7. Bestimmung von Extremwerten
   • Randpunkte des $\mathbf{D}$ sind gesondert zu untersuchen, z.B. mit Hilfe von Monotoniebetrachtungen
   • innere Punkte werden mittels
     • notwendige Bedingung
       $$f'(x)\stackrel{!}{=}0$$

     • hinreichende Bedingung
       $$f''(x)\not= 0$$
       und zwar:
       $$f''(x)>0 \quad \rightarrow \quad \textrm{Minimum}$$
       $$f''(x)<0 \quad \rightarrow \quad \textrm{Maximum}$$
       jeweils mit den mit $f'(x)\stackrel{!}{=}0$ gefunden Punkten, die ich für die $y$ Werte in $f(x)$ einsetze
     untersucht
8. Für Wendepunkte verwendet man:
   • notwendige Bedingung
     $$f''(x)\stackrel{!}{=}0$$

   • hinreichende Bedingung
     $$f'''(x)\not= 0$$

   oder untersucht Konvexitätsbereiche

9. Skizze des Graphen mit den gewonnen Daten