Reihen

• Reihen
  $$\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \textrm{ ist konvergent falls } \lim_{k \to \infty} a_{k}=0$$
  $$\lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\vert a_{k}\vert}<1 \rightarrow \sum... ...\vert a_{k}\vert \textrm{ und } \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \textrm{ konvergent}$$
  $$\lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\vert a_{k}\vert}>1 \rightarrow \sum... ...\vert a_{k}\vert \textrm{ und } \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \textrm{ digvergent}$$
  $$\lim_{k \to \infty} \left \vert \frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right \vert... ...\vert a_{k}\vert \textrm{ und } \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \textrm{ konvergent}$$
  $$\lim_{k \to \infty} \left \vert \frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right \vert... ...}\vert a_{k}\vert \textrm{ und } \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \textrm{ divergent}$$

• Leibnitz-Kriterium
  $$\sum(-1)^{k}a_{k}$$
  ist konvergent falls $a_{k} \to 0$

• Potenzreihen
  $$\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k} \approx \sum a_{k}(x-x_{0}^{k}) \textrm{ konvergent: } \vert x-x_{0}\vert<R$$
  $$\frac{1}{R}=\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{\vert a_{k}\vert}=\lim_{k\to \infty}\left \vert\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right \vert$$
  $$\sum a_{k}x^{k} :$$
  $$\vert x\vert<R \rightarrow \quad \textrm{konvergent} \quad \vert ... ...textrm{divergent} \quad \vert x\vert=R \rightarrow \quad \textrm{keine Aussage}$$
  Hilfen:
  $$\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{k}=1 \qquad \frac{1}{k} \textrm{ ist Nullfolge}$$