Bezeichnungen und Beziehungen

$$\varphi=\arg z$$

$$\vert z\vert=r$$

Abbildung 5: Polaarkoordinaten einer komplexen Zahl

Ist $\varphi$ der zwischen positiver x-Achse und komplexer Zahl $z\not= 0$ gemessene Winkel $\varphi \in [0,2\pi[$, so gilt:

$$z=r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$$

Hierbei ist $r$ die Länge (der Betrag, das Modul) von $z$ und $\varphi$ das Argument der komplexen Zahl $z$.

Umrechnungen:

• $$x=r \cos \varphi \qquad \qquad y=r \sin \varphi$$

• $$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

• $$\cos \varphi = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \qquad \sin \varphi = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \textrm{ mit } (z\not=0)$$
  $$\tan \varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{y}{x}$$

Bei der Berechnung von $\varphi$ muss man die Mehrdeutigkeit des $\arctan$ beachten:

$$\varphi = \left \{ \begin{array}{ccc} \arctan (y/x) & , & x >0 , ... .../2 & , & x=0, y<0 \\ 2\pi + \arctan(y/x)&, & x>0,y<0 \\ \end{array} \right .$$

Hierbei ist der $\arctan$ der Zweig in $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ (Vergleich Verlauf des $\arctan$!).

Zur Abkürzung schreibt man nach der Formel von Euler:

$$z=r(\cos \varphi + i \sin \varphi)=r e ^{i\varphi}$$