next up previous contents
Nächste Seite: Allgemeines zu Polarkoordinaten Aufwärts: Polarkoordinaten Vorherige Seite: Polarkoordinaten   Inhalt

Bezeichnungen und Beziehungen

$\displaystyle \varphi=\arg z$

$\displaystyle \vert z\vert=r$

Abbildung 5: Polaarkoordinaten einer komplexen Zahl
\begin{figure}\epsfig{file=polaar.eps, width=\epswidth}
\end{figure}

Ist $ \varphi$ der zwischen positiver x-Achse und komplexer Zahl $ z\not= 0$ gemessene Winkel $ \varphi \in
[0,2\pi[$, so gilt:

$\displaystyle z=r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$

Hierbei ist $ r$ die Länge (der Betrag, das Modul) von $ z$ und $ \varphi$ das Argument der komplexen Zahl $ z$.

Umrechnungen:

Bei der Berechnung von $ \varphi$ muss man die Mehrdeutigkeit des $ \arctan$ beachten:

$\displaystyle \varphi = \left \{ \begin{array}{ccc}
\arctan (y/x) & , & x >0 , ...
.../2 & , & x=0, y<0 \\
2\pi + \arctan(y/x)&, & x>0,y<0 \\
\end{array} \right . $

Hierbei ist der $ \arctan$ der Zweig in $ ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ (Vergleich Verlauf des $ \arctan$!).

Zur Abkürzung schreibt man nach der Formel von Euler:

$\displaystyle z=r(\cos \varphi + i \sin \varphi)=r e ^{i\varphi}$



Joern Allmers 2003-06-04